Matemática Financeira

Para os que, já, possuem uma boa bagagem na matéria de matemática financeira torna-se necessário manter um resumo sempre por perto. Sendo assim, abaixo destaco os principais ítens exigidos nos editais para concurso da área fiscal:


1) Regime de Juros Simples

C/100 = J/i.n = M/100 + i.n

M = C + J

1.1) Questões Denorex

 Parcelas do mesmo valor;
 Intervalo de tempo igual entre as parcelas;
 Taxa de Juros Simples

Ex. Uma pessoa realizou 7 aplicações mensais e sucessivas, no valor de R$ 1.000,00 cada. Considerando uma taxa de juros simples de 4% ao bimestre, determine o valor a ser resgatado, em decorrência de todas essas aplicações, cinco meses após a data da ultima parcela.

7 aplicações: 0;1;2;3;4;5;6; + 5 meses (divide-se 6/2) = 3
C = 1.000,00 x 7 = 7.000,00
N = 8 meses
i = 4% ab = 2% am

7.000/100 = J/2 x 8 => J = 1.120 => M = 7.000 + 1.120 => M = 8.120

1.2) Descontos simples

Operação de desconto é aquela em que se projeta para a data de hoje um valor monetário conhecido numa data futura.

a) Desconto Simples por Dentro ou Racional

VA/100 = D/i.n = VN/100 + i.n

VN = Valor Nominal; Valor de Face
VA = Valor Atual; Valor Líquido; Valor Descontado
D = Desconto

VN = VA + D

b) Desconto Simples por Fora ou Comercial


VA/100 + i.n = D/i.n = VN/100


VN = VA + D

c) Relação entre Descontos Simples por Dentro (Racional) e por Fora (Comercial)

Df = Dd [ 1 + (i.n/100)] ou Dc = Dr [ 1 + (i.n/100)]


2) Equivalência de Capitais

Identificação da questão:

 Quando existirem duas diferentes formas de pagamento para uma mesma obrigação;
 Quando estivermos diante de uma situação de empréstimos.

Ex1. (Desconto Simples por Dentro ou Racional)

Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de 50 dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de 100 dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu a 20 dias, a taxa de juros simples de 0,1% ao dia.




4.000/100 = X/100 + 0,1 x 20 => X = 4.040,00


X/100 = 4.620/100 + 0,1 x 50 => X = 4.400,00


X/100 = 3.960/100 + 0,1 x 100 => X = 3.600,00

X = 4.040 + 4.400 + 3.600 => X = 12.080,00

Ex2. (Desconto Simples por Fora ou Comercial)

João comprou hoje um computador, e acertou de pagar por ele uma parcela de R$ 1.000,00 daqui a 30 dias, e mais outra parcela de R$ 2.000,00, daqui a 60 dias. Por não dispor de numerário suficiente, solicitou a loja aquela forma de pagamento que havia combinado originalmente, propondo uma nova forma de pagamento: duas parcelas iguais: 90 e 120 dias após a compra. Considerando na operação uma taxa de 10% ao mês, e Desconto Simples Comercial, obtenha o valor das novas prestações. Adote a data focal 120 dias.









1.000 = X => X = 1.428,00
100 - 10 x 3 100

2.000 = X => X = 2.500,00
100 - 10 x 2 100

X1 = X => X1 = 1,1X
100 - 10 x 1 100




X + 1,1X = 1.428 + 2.500
X = 1.870,00





3) Regime de Juros Compostos

M = C + J

M = C x (1 + i )n
100


4) Taxa Nominal x Taxa Efetiva

Ex. Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado considerando-se uma taxa anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de:

i n = 12% aa ÷ 3 => ie = 4% aq => ie = 1,043 – 1 => ie = 12,48% aa

Lembretes:

112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625

5) Convenção Linear

M = C x (1 + i )n + (1 + i . N)
100 100

N = prazo não inteiro ÷ medida inteira

Ex. Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos de 15% ao ano, pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a Convenção Linear, o montante da aplicação ao final do prazo é:

M = 10.000 x (1,15)3 x (1 + 15 x 8) => M = 16.730,00
100 12

6) Descontos compostos

a) Desconto Composto por Dentro ou Racional




VN = VA x (1 + i )n
100

b) Desconto Composto por Fora Comercial



VA = VN x (1 - i )n
100








7) Equivalência Composta de Capitais

Identificação da questão:

 Quando existirem duas diferentes formas de pagamento para uma mesma obrigação;
 Quando estivermos diante de uma situação de empréstimos;
 Trabalhar sempre com operações de desconto composto racional (por dentro).

Ex1. João fez uma compra hoje, compremetendo-se a pagar R$ 1.000,00 daqui a 30 dias, e mais R$ 2.000 daqui a 60 dias. Por não dispor de numerário suficiente, deseja substituir essa forma de pagamento por uma nova, que consiste em duas parcelas iguais, a serem pagas nas datas 90 e 120 dias. Considerando na operação uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, determine o valor das novas parcelas.



x.(1,10)1 + x = 1.000 x (1,10)3 + 1.000 x (1,10)2 => x = 1.789,00

Ex2. Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo esta interessado em comprar este apartamento e propõe a Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento a partir de 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será?



400.000. (1,05)3 = x. (1,05)2 + x => x = 220.237,00

8) Rendas Certas



Identificação da questão:

 As parcelas são do mesmo valor;
 As parcelas estejam dispostas em intervalos de tempos iguais;
 As taxas tem que estar no Regime de Juros Compostos.

Execução da questão:

 Projetar todas as parcelas (P) de uma só vez para uma data futura;
 A data certa para projetarmos todas as parcelas de uma só vez é a data da ultima parcela.

T = P x Sn,i

Sn,i = (1+i)n - 1
i
T = resultado
P = Parcela
Ex1. Uma pessoa aplicou 6 parcelas iguais, mensais e sucessivas, no valor de R$ 1.000,00 cada uma. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual o valor a ser resgatado 4 meses após a ultima aplicação?

T = P x Sn,i

Sn,i = (1+i)n - 1
i
T = 1.000 x S6,2% => T = 6.308,10

S6,2% = (1,02)6 – 1 => S6,2% = 6,3081
0,02
M = 6.308,10. (1,02)4 => M = 6.828,00

Ex2. Uma pessoa faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente, R$ 1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$ 2.000,00 mensalmente do quinto ao sétimo mês e R$ 3.000,00 mensalmente do oitavo ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao final de cada mês, calcule o montante ao final dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostas de 2% ao mês.




 10 Parcelas de R$ 1.000,00

T = 1.000 x S10,2% => T = 10.949,70

S4,2% = (1,02)10 – 1 => S10,2% = 10,9497
0,02

 6 Parcelas de R$ 1.000,00

T = 1.000 x S6,2% => T = 6.308,10

S3,2% = (1,02)6 – 1 => S6,2% = 6,3081
0,02

 3 Parcelas de R$ 1.000,00

T = 1.000 x S3,2% => T = 3.060,00

S3,2% = (1,02)3 – 1 => S3,2% = 3,06
0,02

T = 10.949,70 + 6.308,10 + 3.060,00 => T = 20.317,80

9) Amortização

Identificação da questão:

 As parcelas são do mesmo valor;
 As parcelas estejam dispostas em intervalos de tempos iguais;
 As taxas tem que estar no Regime de Juros Compostos;
 Objetivo for de projetar todas as parcelas para uma data anterior.

T = P x An,i

An,i = (1+i)n - 1
i(1+i)n

# Principal diferença entre rendas certas e amortização: nas rendas certas o objetivo é o de acumular e resgatar no final, já na amortização é o de diluir o valor anterior.

Ex1. Um computador custa a vista R$ 5.000,00. Uma pessoa propõe compra-lo pagando uma entrada de 30% do valor do bem, e o restante em cinco parcelas iguais, mensais e consecutivas, vencendo a primeira delas 4 meses após a compra. Considerando uma taxa de juros composta de 2% ao mês, qual o valor das prestações?

Entrada = 5.000 x 30% = 1.500

T = (5.000 – 1.500) x (1,02)3 = 3.714,23

T = P x An,i

A5,2% = (1,02)5 – 1 => A5,2% = 4,71346
[0,02 x (1,02)5]

3.714,23 = P x A5, 2% => P = 788,00

Ex2. João deseja comprar um veículo. Propõe compra-lo por meio dos seguintes pagamentos, realizados ao fim de cada mês: do primeiro ao quarto mês, parcelas de R$ 3.000,00; do quinto ao oitavo mês, parcelas de R$ 2.000,00; do nono ao décimo segundo mês, parcelas de R$ 1.000,00. Considerando uma taxa de juros composta de 3% ao mês, qual seria o valor à vista do veículo que João quer comprar?



 12 Parcelas de R$ 1.000,00

T = 1.000 x A12,3% => T = 9.954,00

A12,3% = (1,03)12 – 1 => A10,2% = 9,9540
[0,03 x (1,03)12]

 8 Parcelas de R$ 1.000,00

T = 1.000 x A8,3% => T = 7.019,69

A8,3% = (1,03)8 – 1 => A8,2% = 7,01969
[0,03 x (1,03)8]

 4 Parcelas de R$ 1.000,00

T = 1.000 x A4,3% => T = 3.717,10

A4,3% = (1,03)4 – 1 => A4,2% = 3,7171
[0,03 x (1,03)4]

T = 9.954,00 + 7.019,69 + 3.717,10 => T = 20.690,79

10) Empréstimos americano

Características:

 Parcelas iguais de valores menores e sucessivas, intervalos de tempos iguais;
 Na data da ultima parcela devolve-se o valor do empréstimo juntamente com ela;

Para calcula da taxa aplica-se a seguinte formula:

Taxa = valor de uma da parcelas / valor do empréstimo